Thema 24: Kombinatorik (August/September 2023)

Um nicht der laufenden 1. Runde der 63. Mathematik-Olympiade vorzugreifen, blicken wir im Aug./Sep.-Heft noch einmal auf das Thema "Quersummen" zurück und erweitern die Thematik mit "Querprodukten". Wir zeigen, wie der Austausch dieser Begriffe in Wettbewerbsaufgaben einerseits zu aufwändigen Fallunterschiedungen führen kann, andererseits aber auch fast triviale Fragestellungen ergeben.

Mit Bezug auf die Aufgaben MO620942/MO621043 beginnen wir im Thema 24 die Diskussion zur Kombinatorik, wie sie in MO-Aufgaben häufig zu finden sind. Auch hier ist die Fallunterscheidung ein wichtiges Instrumentarium, um komplexe Situationen zu strukturieren.

Passend zu dieser Thematik blättern wir in einem Aufgabenbuch von 1895 und zitieren den Abschnitt über Permutationen.

Wir berichten über die Internationale Mathematik-Olympiade, bei der das deutsche Team den 20. Platz erreichte.

Monatsaufgabe 09/23.
Von einer fünfstelligen ganzen Zahl wird eine bestimmte Ziffer gestrichen, so dass eine vierstellige Zahl übrig bleibt. Die fünfstellige und die neue vierstellige Zahl werden addiert und ergeben die Summe 52713.Wie groß ist die Quersumme der ursprünglichen fünfstelligen Zahl?

(Einsendeschluss: 31.10.2023)

Thema 23.01: Quersummen und Querprodukte (Juli 2023)

Mit Bezug zu den Aufgaben MO620941/MO621041 beginnen wir das Themas 23 im Juli-Heft mit Aufgaben, die sich als Einstieg in eine Wettbewerbrunde besonders eignen.

Wir blicken auf die Kernstücke der mathematischen Interessen- und Begabtenförderung: Korrespondenzzirkel Mathematik, Bundeswettbewerb Mathematik und Bundeswettbewerb "Jugend forscht".

Als Ferienlektüre zeigen wir unterhaltsame Approximationen der Zahl Pi.

Ebenso für die Ferienzeit eignet sich eine MO-Aufgabe in Reimen!

Thema 22: Zahlenverteilung auf Körpern (Juni 2023)

Noch einmal mit Bezug zur Aufgabe MO620936 stellen wir in der Fortsetzung des Themas 22 im Juni-Heft einige Aufgaben mit Zahlenverteilungen auf Seitenflächen oder Eckpunkten von Körpern in den Mittelpunkt.

Wir zeigen Anwendungsbeispiele des Wurzelsatzes von Vieta zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen. Passend dazu zitieren wir als historischen Beitrag die Vermittlung des Wurzelsatzes in einem Lehrbuch von 1895.

Wir blicken auf den Bundeswettbewerb "Jugend forscht" zurück und werben besonders zur Teilnahme im Fachgebiet Mathematik/Informatik - es lohnt sich auch im Wettbewerbsjahr 2024!

Monatsaufgabe 06/23.
Beweisen Sie: Zu jeder natürlichen Zahl n ≥ 2 gibt es von Null verschiedene natürliche Zahlen a₁,a₂,...,a_n, für die folgende Gleichung gilt:

a₁ + a₂ +...+ a_n = a₁ · a₂ · ... · a_n

(Einsendeschluss: 31.07.2023)

Thema 22: Zahlenverteilung auf ebenen Figuren (Mai 2023)

Mit Bezug zur Aufgabe MO620936 stellen wir im Mai-Heft Aufgaben vor, bei denen Zahlen auf ebenen Figuren verteilt werden, wobei auf definierten Geraden Eigenschaften erfüllt werden müssen. Meist geht es um Summen der auf den Geraden befindlichen Zahlen. Entgegen solcher Aufgaben aus der Unterhaltungsmathematik, bei denen eine Lösung gesucht wird, suchen MO-Aufgaben die Anzahl aller möglichen Lösungen.

Passend zur Thematik zitieren wir einen Beitrag von Adam Ries aus dem Jahr 1550 zu magischen Quadraten bis zur Ordnung 11.

Monatsaufgabe 05/23.
In die unten abgebildete Figur sind in die neun Kreise die Zahlen 1 bis 9 so einzutragen, dass jede dieser Zahlen genau einmal verwendet wird und die Summen der drei Dreiecksseiten (jeweils aus den Zahlen der vier Kreise einer Seite) gleich groß sind.
Ermitteln Sie alle möglichen verschiedenen Zahlenverteilungen, wenn im Kreis an der Spitze die Zahl 5 steht.
      O
    O O
  O     O
O O O O

Hinweis: Zwei Zahlenverteilungen heißen genau dann voneinander verschieden, wenn sich deren Eintragungen bei wenigstens einem Kreis unterscheiden.

(Einsendeschluss: 30.06.2023)

Thema 21: Mischungsverhältnisse (April 2023)

Mit Bezug zu den Aufgaben MO620934/MO621034 stellen wir im April-Heft Aufgaben vor, bei denen Mischungsverhältnisse zu berechnen sind. .

Wir setzen den Beitrag zu geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal fort und erklären Beispiele, in denen Radien von In- und Umkreisen zu den bestimmungsstücken gehören. Ein Beitrag aus dem Jahr in "Elemente der Mathematik" diskutiert ein Aufgabenbeispiel, dass nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.

Monatsaufgabe 04/23.
Im Dreieck ABC wird A an B nach A1, B an C nach B1 und C an A nach C1 gespiegelt.
Man konstruiere das Dreieck ABC, falls nur die Punkte A1,B1,C1 gegeben sind. Die Konstruktion ist zu beschreiben und zu diskutieren.

(Einsendeschluss: 31.05.2023)

Thema 18.02: Satz des THALES (März 2023)

Mit Bezug zu der Aufgabe MO621024 stellen wir im März-Heft noch einmal Aufgaben vor, bei denen der Satz des THALES zur Anwendung kommen kann.

Anknüpfend an die aktuelle Serie des KZM der Kl. 9/10 diskutieren wir den FERMAT-Punkt im Dreieck und ergänzen die Thematik mit allgemeineren Aufgaben über Summen von Abständen zu den Dreiecks-Eckpunkten aus dem MO-Archiv.

Wir setzen den Beitrag zu geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal fort und erklären Beispiele, in denen Vierecke zu konstruieren sind.

Monatsaufgabe 03/23.
Einem spitzwinkligen Dreieck ABC ist ein Dreieck DEF mit minimalem Umfang einzubeschreiben, wobei auf jeder Dreiecksseite des Dreiecks ABC eine Ecke des Dreiecks DEF liegt.

Thema 20: Rechnen mit großen Zahlen (Jan./Febr. 2023)

Mit Bezug zu der Aufgabe MO620923 stellen wir im Jan./Febr.-Heft Aufgaben vor, bei denen die Berechnungen großer Zahlen erforderlich waren.

Wir schließen den Beitrag über das Schubfachprinzip und zeigen Anwendungen bei geometrischen Fragestellungen. Dazu passend fanden wir eine Aufgabensammlung aus dem Jahr 1636, in der das Schubfachprinzip bereits angewandt wurde.

Monatsaufgabe 01/23.
Zeigen Sie: Ist α eine reelle Zahl und n eine natürliche Zahl, so existiert ein gekürzter Bruch p/q mit 0 < q ≤ n und Ι α - p/q Ι ≤ 1/(nq) .

Thema 19: Maximale Flächeninhalte (Dezember 2022)

Mit Bezug zu der Aufgabe MO620924 diskutieren wir im Dezember-Heft Aufgaben mit Flächenberechnungen bei einbeschriebenen Figuren.

Wir setzen den Beitrag über Konstruktionen mit Zirkel und Lineal fort. Dazu passend zitieren wir aus "Anweisung zur Geometrie für Anfänger" aus dem Jahr 1790 über Dreieckskonstruktionen.

Mit Bezug zur KZM-Aufgabe 2-5B stellen wir Aufgaben vor, die mit dem Schubfachprinzip gelöst werden können.

Monatsaufgabe 12/22.
Auf einer Digitaluhr werden der Tag, der Monat, die Stunde, die Minuten und die Sekunden jeweils als zweistellige Zahlen dargestellt, also im Format tt.mm.hh.mm.ss. Wie viele Zeitpunkte gibt es im Jahr, wenn dabei alle zehn Ziffern 0, 1, ..., 9 genau einmal auftreten?

Thema 9.02: Pythagoreische Zahlentupel (November 2022)

Mit Bezug zu der Aufgabe MO621012 diskutieren wir im November-Heft nach Heft 09/2021 erneut Aufgaben mit Summen von Quadratzahlen. Dazu passend zitieren wir aus dem Archiv der Mathematik und Physik von 1874 Auszüge aus einem Beitrag zu rationalen Dreiecken.

Mit Bezug zur Aufgabe MO621011 stellen wir Aufgaben vor, bei denen die Quersummen vor allem zur Abschätzung der Stellenzahl verwendet werden. Zudem beginnen wir eine Beitragsserie zu Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

Monatsaufgabe 11/22.
Gesucht ist die kleinste positive ganze Zahl z mit den Eigenschaften
(1) z ist durch 2 teilbar,
(2) Q(z) ist durch 3 teilbar und
(3) Q(Q(z)) ist durch 5 teilbar.
Hinweis: Mit Q(n) wird die Quersumme von der ganzen Zahl n bezeichnet.

Thema 18: Satz des Thales (Oktober 2022)

Mit Bezug zu der Aufgabe MO621014 diskutieren wir im Oktober-Heft die Eignung des Satzes des Thales für einen Lösungsansatz in geometrischen Aufgabenstellungen. Diese Aufgabe bietet zudem einen Zugang zur Versuch-Irrtum-Methode bei geometrischen Konstruktionen. Dies wird auch in der Monatsaufgabe vertieft.

Monatsaufgabe 10/22.
Gegeben seien in der Ebene drei parallele Geraden g,h und k. Konstruieren Sie ein gleichseitiges Dreieck ABC mit A auf g, B auf h und C auf k.

Ergänzend zur Serie 1 des diesjährigen Korrespondenzzirkel Mathematik untersuchen wir die Verteilung von n Punkten im Quadrat mit maximalem Mindestabstand für n = 2, ..., 9.

Wir wiederholen den Schulbeweis des Satzes des Thales. Ergänzend zitieren wir im historischen Rückblick aus Euklids "Elemente" seinen Beweis zum Satz des Thales.

Thema 17: Größter gemeinsamer Teiler (September 2022)

Mit Bezug zu der Aufgabe MO610931 diskutieren wir im September-Heft Aufgaben zur Thematik "Größter gemeinsamer Teiler".

Ergänzend zur aktuellen Serie 1 des diesjährigen Korrespondenzzirkel Mathematik erklären wir Regeln bei Verwendung des Summen- oder Produktzeichens.

Monatsaufgabe 09/22. Es seien m und n natürliche Zahlen. Beweisen Sie, dass die Quersumme der Summe m + n kleiner-gleich der Summe der Quersummen beider Zahlen ist, also dass gilt Q(m+n) <= Q(m) + Q(n).

Wir informieren über die 63. Internationale Mathematik-Olympiade, bei der die deutsche Mannschaft unter 104 teilnehmenden Ländern einen hervorragenden 7. Platz erreichte.

Im historischen Rückblick erinnern wir an die römischen Zahlen und zeigen, wie damit die Bruchrechnung ausgeführt werden konnte.

Es wird auf die Online-Seminare des Bildung und Begabung e.V. verwiesen, in der regelmäßig für Lehrerinnen und Lehrer über die Aufgaben des Bundeswettbewerbs Mathematik gesprochen wird.

Thema 16: Betragszeichen - Gleichungen und Gleichungssysteme (Juli 2022)

Mit Bezug zu den Aufgaben MO610941/MO611041 diskutieren wir im Juli-Heft Gleichungen und Gleichungssysteme, die Betragszeichen enthalten.

Anknüpfend an den Aufgaben MO610946/MO611046 zeigen wir Beispiele mit geometrischen und arithmetischen Fragestellungen, zu denen durch rekursive Konstruktionsvorschriften unendlich viele Beispiele erzeugt werden können.

Mit Blick auf die Aufgabe KZM A6-2 des sächsischen Korrespondenzzirkels Mathematik untersuchen wir Zerlegungen von Rechtecken in flächengleiche Teilrechtecke, was wir bis zur bruchlinienfreien Bedeckung von Rechtecken mit Domino-Steinen führen.

Ein Blick in den 20. Jahrgang der Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aus dem Jahre 1889 zeigt die historische Quelle der KZM-Aufgabe A7-5B.

Mit Bezug zur Aufgabe MO610945 diskutieren wir erneut das Einbeschreiben von Kreisen in Figuren. Diese Fragestellungen wurden bereits im 18. Jh gelehrt. Zudem untersuchen wir im Juni-Heft die Berechnung von Summen und Produkten mit vielen Gliedern, bei denen sich benachbarte Glieder kürzen lassen.

Zu den nachfolgenden Themen sind auf Anfrage pdf-Dokumente erhältlich:

Thema 06.3: Einbeschriebene Kreise (Juni 2022)
Thema 15: Stammbrüche (Mai 2022)
Thema 14: Wettbewerbsaufgaben mit Primzahlen (März 2022)
Thema 13: Bewegungsaufgaben (Januar 2022)
Thema 12.1: Bedeckungen (April 2022)
Thema 12: Bedeckungen von ebenen Figuren (Dezember 2021)
Thema 11: Streckenberechnung (November 2021)
Thema 10: Beschränkte Brüche (November 2021)
Thema 09: Pythagoreische Zahlentripel (Oktober 2021)
Thema 08: Sekanten-Tangenten-(Winkel-)Satz (September 2021)
Thema 07: Kryptogramme (Juli/August 2021)
Thema 06: Einbeschriebene Figuren und Körper (Juni 2021)
Thema 05: Quadratische Funktionen (Mai 2021)
Thema 04: Flächenberechnung (April 2021)
Thema 03: Gleichungssysteme (März 2021)
Thema 02: Ungleichungen mit vollständigen Quadraten (Februar 2021)
Thema 01: Funktionalgleichungen (Januar 2021)