Thema 01: Funktionalgleichungen

Angeregt durch die Aufgabe MO601016, die in der Schreibweise von Funktionalgleichungen wie

f(a) + f(b,c) = f(a,b) + f(a,c)

formuliert werden kann, werden zunächst allgemeine Lösungsstrategien für solche Aufgaben diskutiert. Die Untersuchung der Cauchyschen Funktionalgleichung eröffnet neue Lösungsstrategien, wenn eine gegebene Funktionalgleichung auf diesen Grundtyp zurückgeführt werden kann. Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf diese Zusammenfassungen.

Aufgabe 01-01a (MO301044). Untersuchen Sie, ob es eine für alle reellen Zahlen definierte Funktion f so gibt, dass für alle natürlichen Zahlen a und b die folgende Gleichung gilt:

f(a) + f(a + b) - f(a - b) = a2 + 4b + 2

Lösungsvariante 1: Finden Sie durch eine geeignete Substituion der Variablen a und b eine explizite Darstellung für die Funktion f und zeigen Sie in der Probe, dass diese notwendige Bedingung nicht für alle a und b gelten kann.
Lösungsvariante 2: Finden Sie verschiedene Werte für a und b, sodass die linken Seiten der Funktionalgleichungen gleich sind, sich die rechten Seiten aber unterscheiden.

Aufgabe 01-02a (MO471036). Wir wollen im Folgenden untersuchen, ob es eine für alle reellen Zahlen definierte reellwertige Funktion f gibt, die für alle reellen Zahlen x (x ≠ -1; 0) der folgenden Gleichung genügt:

1/(1+ x) ⋅ f((1 + x)/x) + f(1 + x) = 1.

a) Angenommen, es gibt eine solche Funktion. Bestimmen Sie f(2).
b) Bestimmen Sie die Werte von f(3) und f(3/2).

Aufgabe 01-03a. Finden Sie alle reellwertigen Funktionen f, die für alle reellen Zahlen definiert sind und für alle reellen Zahlen x und y die folgrende Gleichung erfüllen:

f(x + y) - 2f(x - y) + f(x) = 6xy - y2

Aufgabe 01-04a. Zeigen Sie: Erfüllt die Funktion f für alle rationalen Zahlen x und y die Cauchysche Funktionalgleichung

f(x + y) = f(x) + f(y); f(1)=1

und gibt es eine irrationale Zahl z mit f(z) ≠ z, so ist f keine monotone Funktion.

Aufgabe 01-05a. Finden Sie alle monotonen Funktionen f, die für alle reellen Zahlen definiert sind und die folgenden Funktionalgleichungen erfüllen:

(a) f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)
(b) f(x ⋅ y) = f(x) + f(y)

Lösungshinweise: Führen Sie durch geeignete Substituion die gegebenen Funktionalgleichungen auf die Cauchysche Funktionalgleichung zurück.

Thema 02: Ungleichungen mit vollständigen Quadraten

Angeregt durch die Aufgabe MO601024 wird die Anwendung von vollständigen Quadraten zum Nachweis von Ungleichungen diskutiert. Mit einer einfachen Folgerung aus vollständigen Quadraten lassen sich eine weitere Klasse von Aufgaben lösen. Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf diese Zusammenfassung.

Aufgabe 02-01a (MO480923a). Bestimmen Sie alle ganzzahligen Paare (a,b), für die a + b ≥ a2 + b2 - 1 gilt.

Lösungshinweis: Beachten Sie, dass hier nur ganzzahlige Lösungen zugelassen sind. Mit dieser Einschränkung kann die Lösungsmenge für a und b abgeschätzt werden.

Aufgabe 02-02a (MO480935). Zeigen Sie, dass für alle nichtnegativen reellen Zahlen a, b, c mit a + b + c = 1 stets

⅓ ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 1

gilt!

Aufgabe 02-03a (MO540934). Gegeben sind drei positive Zahlen g, b und f, für die

g-1 + b-1 = f-1 (1)

gilt.

(a) Geben Sie zwei Beispiele für je drei positive ganze Zahlen mit dieser Eigenschaft an.
(b) Beweisen Sie, dass für positive Zahlen g, b und f, die (1) erfüllen, stets auch g + b ≥ 4f (2) gilt.

Lösungshinweis: Ersetzen Sie in (2) die Variable f mittels der Gleichung (1) und suchen Sie in der Ungleichung das vollständige Quadrat.

Aufgabe 02-04a (MO431043). Bestimmen Sie alle reellen Tupel (a,b,c,d), welche Lösungen des folgenden Gleichungssystems sind:

a + bc = 1
b + cd = 1
c + da = 1
d + ab = 1

Lösungshinweise: Aus den ersten beiden Gleichungen k¨nnen wir die Gleichung ad - b2 = d - b erhalten. Analog finden wir weitere drei Gleichungen mit den Differenzen a - c, b - d und c - a auf den rechten Seiten. Durch Addition dieser vier Gleichungen können wir dies zu einer Gleichung mit vollständigen Quadraten führen.

Aufgabe 02-05a. Beweisen Sie, dass für alle reellen Zahlen x die folgende Ungleichung gilt:

(x - 1) ⋅ (x - 3) ⋅ (x - 4) ⋅ (x - 6) + 9 ≥ 0.

Aufgabe 02-06a (MO380943.

Ermitteln Sie alle positiven reellen Zahlentripel (x;y;z) für die gilt:

x + 3y3 + 5z5 +1/x + 3/y3 + 5/z5 =18.

Aufgabe 02-07a.

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung für reelle Zahlen x:

x4 + 3 ⋅ x3 - 8 ⋅ x2 + 3 ⋅ x + 1 = 0

Aufgabe 02-08a.

Beweisen Sie: Für positive reelle Zahlen a1, a2, ..., an (n>1) gelten folgende Ungleichungen:

(I) a1/a2 + a2/a3 + ... + an/a1 ≥ n

(II) (a1 + 1/a2) ⋅(a2 + 1/a3) ⋅ ... ⋅ (an + 1/a1) ≥ 2n

Aufgabe 02-09a.

Beweisen Sie, dass unter allen Paaren (a;b) positiver reeller Zahlen solche Paare existieren, für die die Funktion f, definiert als

f(a;b)=a4/b4 + b4/a4 - a2/b2 - b2/a2 + a/b + b/a

einen kleinsten Wert annimmt. Finden Sie den kleinsten Wert und nennen Sie Bedingungen für a und b, unter denen dieser kleinste Wert angenommen wird.

Mathematische Kostproben