Thema 26.2: Geometrischer Ort (Mai 2024)

Wir setzen im Mai-Heft den Rückblick auf die Aufgaben der Landesrunde der 63. MO fort. Mit den Aufgaben MO630933/MO631033 fand die Thematik "Geometrischer Ort" aus der Aufgabe MO631015 eine direkte Fortsetzung. Die gezeigte Vielfalt der möglichen Lösungsstrategien liefert umfangreiches Trainingsmaterial.

Auch die Thematik der Aufgaben MO630936/MO631036 ist in den MO-Aufgabensammlungen bereits vorhanden, so dass die Nachbereitung der aktuellen Aufgabe vertieft werden kann.

Monatsaufgabe 05/24.
Seien ∆ABC ein spitzwinkliges Dreieck mit AB ≠ AC und O sein Umkreismittelpunkt. Die Gerade AO schneide den Umkreis I von ∆ABC ein weiteres Mal im Punkt D und die Gerade BC im Punkt E. Der Umkreis von ∆CDE schneide die Gerade CA ein weiteres Mal im Punkt P. Die Gerade PE schneide die Gerade AB im Punkt Q. Die Gerade durch O parallel zu PE schneide die Höhe im Dreieck ∆ABC durch A im Punkt F.
Zeige |FP|=|FQ|.

(Einsendeschluss: 30.06.2024)

Thema 9.3: Differenzen und Summen von Quadraten (April 2024)

Wir beginnen im April-Heft die Aufgabenbesprechung zur Landesrunde der 63. MO mit Aufgabe MO630931 und beziehen dabei die Aufgabe 4.2 des aktuellen Korrespondenzzirkels ein. Ein Schwerpunkt dieser Thematik ist der Existenznachweis durch konstruktive Bildungsvorschriften und der Nachweis der Nichtexistenz durch Diskussion der Reste bei Division von Quadratzahlen.

Monatsaufgabe 04/24. Bestimme sowohl den größtmöglichen als auch den kleinstmöglichen Wert, den der Ausdruck

(1/(a²+1)+1/(b²+1)+1/(c²+1))(a²/(a²+1)+b²/(b²+1)+c²/(c²+1))

für nichtnegative reelle Zahlen a,b und c mit ab + bc + ca = 1 annehmen kann.

(Einsendeschluss: 31.05.2024)

Thema 27: Rechnen mit Polynomen (März 2024)

Wir setzen im März-Heft die Aufgabenbesprechung diesmal mit dem Thema 27 "Rechnen mit Polynomen" fort und beziehen uns dabei auf die Aufgabe 4.5A des aktuellen Korrespondenzzirkels. Ein Schwerpunkt dieser Thematik ist die Ausführung der Partialdivision durch Lösung von Gleichungssystemen.

Ergänzend diskutieren wir in einem Beitrag den Goldenen Schnitt. Hierfür nutzen wir den historischen Rückblick, um bei Albrecht Dürer Konstruktionsmöglichkeiten für regelmäßige Fünfecke kennenzulernen.

Am 10. März 2024 ist der Anmeldeschluss für den 6. Tag der Mathematik an der Fakultät für Mathematik der TU Chemnitz. Falls noch nicht erfolgt - versäumen Sie es nicht, sich und Ihre Teams anzumelden: Information zum 6. TdM

Monatsaufgabe 03/24. Es seien a, b, c positive reelle Zahlen mit a+b+c=1/a² +1/b² +1/c².

Man zeige, dass

2(a+b+c) >= (7a² b+1)^1/3 + (7b²+1)1/3 + (7c² a+1)^1/3

gilt.

Man finde alle Tripel (a,b,c), für die Gleichheit gilt.

(Einsendeschluss: 30.04.2024)

Thema 12.5: Zerlegung einer Trapezfläche (Februar 2024)

Wir setzen im Februar-Heft die Diskussion zur Flächenhalbierung fort und untersuchen die Konstruktion von Teilungsmöglichkeiten eines Trapezes. Dazu passt in Ergänzung zum Beitrag "In alten Mathe-Büchern geblättert" aus Heft 01/2024, wie in der altbabylonischen Epoche die Trapezhalbierung angewandt wurde, um die Lösung von quadratischen Gleichungen zu umgehen.

Monatsaufgabe 02/24. Seien ∆ABC ein spitzwinkliges Dreieck und D ein Punkt im Inneren der Strecke BC. Die Punkte E und F liegen derart in der von der Geraden BC bestimmten Halbebene, die A enthält, dass DE senkrecht auf BE steht und DE eine Tangente an den Umkreis von ∆ACD ist, während DF senkrecht auf CF steht und DF eine Tangente an den Umkreis von ∆ABD ist.

Man zeige, dass die Punkte A,D,E und F auf einem Kreis liegen.

(Einsendeschluss: 31.03.2024)

Thema 12.5: Zerlegung einer Dreiecksfläe (Januar 2024)

Mit Blick auf die 2. Runde der 63. Mathematik-Olympiade beziehen wir uns im Januar-Heft auf Aufgaben zur Flächenhalbierung. Wir ergänzen die Diskussion mit einem historischen Rückblick auf solche Aufgaben in Babylon vor unserer Zeitrechnung.

Wir setzen den Beitrag über rationale und irrationale Zahlen fort.

Monatsaufgabe 01/24. Es sei a eine reelle Zahl. Bestimme alle Polynome P mit reellen Koeffizienten, sodass folgende Ungleichung für alle reellen Zahlen x gilt:

P(2x + a) <= (x²⁰ + x¹⁹ ) P(x).

(Einsendeschluss: 29.02.2024)

Thema 25.2: Gleichungen und Ungleichungen mit Wurzelausdrücken (Dezember 2023)

Mit Blick auf die 2. Runde der 63. Mathematik-Olympiade beziehen wir uns im Dezember-Heft auf Aufgaben mit Wurzelausdrücken. Wir ergänzen die Diskussion mit einem Beitrag über rationale und irrationale Zahlen. Einleitend spielt hier der Beweis, dass die Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl stets irrational ist, eine wichtige Rolle. Dazu zitieren wir auch aus dem Zehnten Buch der Elemente von EUKLID, in dem der heute übliche Beweis schon ausgeführt wurde.

Wir stellen den Bundeswettbewerb Mathematik vor und werben für eine zahlreiche Teilnahme.

Monatsaufgabe 12/23.
Bestimme alle Tripel (a,b,c) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem erfüllen:

a² + ab + c = 0
b² + bc + a = 0
c² + ca + b = 0

(Einsendeschluss: 31.01.2024)

Thema 25: Gleichungen und Ungleichungen mit Wurzelausdrücken
Thema 26: Geometrischer Ort (November 2023)

Mit Blick auf die 1. Runde der 63. Mathematik-Olympiade beziehen wir uns im November-Heft auf die Aufgaben MO631014 und MO631015. Angeregt durch die Einleitung zu Gleichungen mit Wurzelausdrücken erinnern wir an änliche Aufgabenstellungen. Zudem vertiefen wir die Diskussion um die Menge aller Punkte mit gewissen Eigenschaften.

Wir zitieren aus einem Rechenbuch von 1550, um die damalige Weise des Wurzelziehens kennenzulernen./sup>

Wir berichten vom 2. Präsenzseminar am 28.10.23 und stellen das Angebot "Girls Tandem" der TU Chemnitz vor.

Monatsaufgabe 11/23.
Gesucht ist derjenige geometrische Ort aller Punkte P einer Ebene, für den die Summe der Quadrate der Abstände zu zwei fest vorgegebenen Punkten A und B einen konstanten Wert |PA|²+|PB|² = e² = const annimmt.

(Einsendeschluss: 31.12.2023)

Thema 13.02: Bewegungsaufgaben (Oktober 2023)

Um nicht der laufenden 1. Runde der 63. Mathematik-Olympiade vorzugreifen, blicken wir im Oktober-Heft noch einmal auf das Thema "Bewegungsaufgaben" zurück und erweitern die Thematik mit "Querprodukten". Sowohl in Runde 1 als auch in Runde 4 der 62. MO wurden solche Aufgaben gestellt - dabei ist die Steigerung der Schwierigkeit zwischen den Klassenstufen und den Runden bei gleicher Grundidee nachvollziehbar.

Passend zu den Gleichungssystemen zur Lösung der Bewegungsqaufgaben blättern wir in einem Aufgabenbuch von 1906 und zitieren den Abschnitt über Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.

Wir berichten über die Mitteleuropäische Mathematik-Olympiade.

Monatsaufgabe 10/23.
Wir nennen eine positive ganze Zahl N infektiös, wenn es 1000 aufeinanderfolgende nichtnegative ganze Zahlen gibt, sodass die Summe aller ihrer Ziffern N ergibt.
Bestimme alle infektiösen positiven ganzen Zahlen.

(Einsendeschluss: 30.11.2023)

Thema 24: Kombinatorik (August/September 2023)

Um nicht der laufenden 1. Runde der 63. Mathematik-Olympiade vorzugreifen, blicken wir im Aug./Sep.-Heft noch einmal auf das Thema "Quersummen" zurück und erweitern die Thematik mit "Querprodukten". Wir zeigen, wie der Austausch dieser Begriffe in Wettbewerbsaufgaben einerseits zu aufwändigen Fallunterschiedungen führen kann, andererseits aber auch fast triviale Fragestellungen ergeben.

Mit Bezug auf die Aufgaben MO620942/MO621043 beginnen wir im Thema 24 die Diskussion zur Kombinatorik, wie sie in MO-Aufgaben häufig zu finden sind. Auch hier ist die Fallunterscheidung ein wichtiges Instrumentarium, um komplexe Situationen zu strukturieren.

Passend zu dieser Thematik blättern wir in einem Aufgabenbuch von 1895 und zitieren den Abschnitt über Permutationen.

Wir berichten über die Internationale Mathematik-Olympiade, bei der das deutsche Team den 20. Platz erreichte.

Monatsaufgabe 09/23.
Von einer fünfstelligen ganzen Zahl wird eine bestimmte Ziffer gestrichen, so dass eine vierstellige Zahl übrig bleibt. Die fünfstellige und die neue vierstellige Zahl werden addiert und ergeben die Summe 52713.Wie groß ist die Quersumme der ursprünglichen fünfstelligen Zahl?

(Einsendeschluss: 31.10.2023)

Thema 23.01: Quersummen und Querprodukte (Juli 2023)

Mit Bezug zu den Aufgaben MO620941/MO621041 beginnen wir das Themas 23 im Juli-Heft mit Aufgaben, die sich als Einstieg in eine Wettbewerbrunde besonders eignen.

Wir blicken auf die Kernstücke der mathematischen Interessen- und Begabtenförderung: Korrespondenzzirkel Mathematik, Bundeswettbewerb Mathematik und Bundeswettbewerb "Jugend forscht".

Als Ferienlektüre zeigen wir unterhaltsame Approximationen der Zahl Pi.

Ebenso für die Ferienzeit eignet sich eine MO-Aufgabe in Reimen!

Thema 22: Zahlenverteilung auf Körpern (Juni 2023)

Noch einmal mit Bezug zur Aufgabe MO620936 stellen wir in der Fortsetzung des Themas 22 im Juni-Heft einige Aufgaben mit Zahlenverteilungen auf Seitenflächen oder Eckpunkten von Körpern in den Mittelpunkt.

Wir zeigen Anwendungsbeispiele des Wurzelsatzes von Vieta zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen. Passend dazu zitieren wir als historischen Beitrag die Vermittlung des Wurzelsatzes in einem Lehrbuch von 1895.

Wir blicken auf den Bundeswettbewerb "Jugend forscht" zurück und werben besonders zur Teilnahme im Fachgebiet Mathematik/Informatik - es lohnt sich auch im Wettbewerbsjahr 2024!

Monatsaufgabe 06/23.
Beweisen Sie: Zu jeder natürlichen Zahl n ≥ 2 gibt es von Null verschiedene natürliche Zahlen a₁,a₂,...,a_n, für die folgende Gleichung gilt:

a₁ + a₂ +...+ a_n = a₁ · a₂ · ... · a_n

(Einsendeschluss: 31.07.2023)

Thema 22: Zahlenverteilung auf ebenen Figuren (Mai 2023)

Mit Bezug zur Aufgabe MO620936 stellen wir im Mai-Heft Aufgaben vor, bei denen Zahlen auf ebenen Figuren verteilt werden, wobei auf definierten Geraden Eigenschaften erfüllt werden müssen. Meist geht es um Summen der auf den Geraden befindlichen Zahlen. Entgegen solcher Aufgaben aus der Unterhaltungsmathematik, bei denen eine Lösung gesucht wird, suchen MO-Aufgaben die Anzahl aller möglichen Lösungen.

Passend zur Thematik zitieren wir einen Beitrag von Adam Ries aus dem Jahr 1550 zu magischen Quadraten bis zur Ordnung 11.

Monatsaufgabe 05/23.
In die unten abgebildete Figur sind in die neun Kreise die Zahlen 1 bis 9 so einzutragen, dass jede dieser Zahlen genau einmal verwendet wird und die Summen der drei Dreiecksseiten (jeweils aus den Zahlen der vier Kreise einer Seite) gleich groß sind.
Ermitteln Sie alle möglichen verschiedenen Zahlenverteilungen, wenn im Kreis an der Spitze die Zahl 5 steht.
      O
    O O
  O     O
O O O O

Hinweis: Zwei Zahlenverteilungen heißen genau dann voneinander verschieden, wenn sich deren Eintragungen bei wenigstens einem Kreis unterscheiden.

(Einsendeschluss: 30.06.2023)

Thema 21: Mischungsverhältnisse (April 2023)

Mit Bezug zu den Aufgaben MO620934/MO621034 stellen wir im April-Heft Aufgaben vor, bei denen Mischungsverhältnisse zu berechnen sind. .

Wir setzen den Beitrag zu geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal fort und erklären Beispiele, in denen Radien von In- und Umkreisen zu den bestimmungsstücken gehören. Ein Beitrag aus dem Jahr in "Elemente der Mathematik" diskutiert ein Aufgabenbeispiel, dass nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.

Monatsaufgabe 04/23.
Im Dreieck ABC wird A an B nach A1, B an C nach B1 und C an A nach C1 gespiegelt.
Man konstruiere das Dreieck ABC, falls nur die Punkte A1,B1,C1 gegeben sind. Die Konstruktion ist zu beschreiben und zu diskutieren.

(Einsendeschluss: 31.05.2023)

Zu den nachfolgenden Themen sind auf Anfrage pdf-Dokumente erhältlich (siehe Mathematik aloha):

Thema 20: Rechnen mit großen Zahlen (Jan./Feb. 2023)
Thema 19: Maximale Flächeninhalte (Dezember 2022)
Thema 18.2: Satz des Thales (M&aunlrz 2023)
Thema 18.1: Satz des Thales (Oktober 2022)
Thema 17: Größter gemeinsamer Teiler (September 2022)
Thema 16: Gleichungen und Gleichungssysteme mit Betragszeichen (Juli 2022)
Thema 15: Stammbrüche (Mai 2022)
Thema 14: Wettbewerbsaufgaben mit Primzahlen (März 2022)
Thema 13.2: Bewegungsaufgaben (Oktober 2023)
Thema 13.1: Bewegungsaufgaben (Januar 2022)
Thema 12.2: Bedeckungen (April 2022)
Thema 12.1: Bedeckungen von ebenen Figuren (Dezember 2021)
Thema 11: Streckenberechnung (November 2021)
Thema 10: Beschränkte Brüche (November 2021)
Thema 09: Pythagoreische Zahlentripel (Oktober 2021)
Thema 08: Sekanten-Tangenten-(Winkel-)Satz (September 2021)
Thema 07: Kryptogramme (Juli/August 2021)
Thema 06.3: Einbeschriebene Kreise (Juni 2022)
Thema 06.2: Einbeschriebene Körper (Juni 2021)
Thema 06.1: Einbeschriebene Figuren (Juni 2021)
Thema 05: Quadratische Funktionen (Mai 2021)
Thema 04: Flächenberechnung (April 2021)
Thema 03: Gleichungssysteme (März 2021)
Thema 02: Ungleichungen mit vollständigen Quadraten (Februar 2021)
Thema 01: Funktionalgleichungen (Januar 2021)