Aktuelle Serie


Einsendeschluss: 22. März 2019

Aufgabenblatt Serie 5


Aufgabe 5-1. In der Ebene seien 3n Punkte gegeben (n natürliche Zahl, n > 1), von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Kann man aus diesen Punkten (wenn man sie als Eckpunkte nimmt) n Dreiecke bilden, die paarweise keine Punkte gemeinsam haben und nicht ineinander enthalten sind?

Aufgabe 5-2. Man finde alle Primzahlen p1, p2, p3, p4, p5, p6, sodass folgende Gleichung gilt:

p12 = p22 + p32 + p42 + p52 + p62.

Aufgabe 5-3. (Aufgabe 1 des Bundeswettbewerbs Mathematik 2019, 1. Runde)
Ein 8x8-Schachbrett wird mit 32 Dominosteinen der Größe 1x2 vollständig und überschneidungsfrei bedeckt. Beweise: Es gibt stets zwei Dominosteine, die ein 2x2-Quadrat bilden.

Aufgabe 5-4. (Aufgabe 3 des Bundeswettbewerbs Mathematik 2019, 1. Runde)
Im Quadrat ABCD werden auf der Seite BC der Punkt E und auf der Seite CD der Punkt F so gewählt, dass ∠EAF = 45° gilt und weder E noch F Eckpunkte des Quadrates sind. Die Geraden AE und AF schneiden den Umkreis des Quadrates außer im Punkt A noch in den Punkten G bzw. H. Beweise, dass die Geraden EF und GH parallel sind.

Aufgabe 5-5A.

(a) Man beweise die Ungleichung n! ≤ (½ ·(n+1))n für alle natürlichen Zahlen n.

(b) Man beweise die Ungleichung √ 1 + √ 2 + ... + √ n < ¼ · n · (n+3) für n > 1.

(c) Man finde eine natürliche Zahl n, für die mit üblicher Rundungsregel gilt:
1/√ 1 + 1/√ 2 + ... + 1/√n ≈ 2019

Aufgabe 5-5B. (Nach einer Anregung des Ingenieurbüros Wuttke)
Vor der Entwicklung der elektronischen Distanzmessung wurden Vermessungen häufig im Rechtewinkelverfahren durchgeführt. Dafür wird durch die aufzunehmende Fläche eine Messungslinie (Messachse) gelegt und darauf die aufzumessenden Punkte (z.B. Grenzpunkte) rechtwinklig vermessen. Mit der GPS-basierten Messung können alle Punkte mit ihren Koordinaten (ausreichend) exakt bestimmt werden.

(a) Sind für ein Dreieck ABC die Eckkoordinaten (xi; yi) mit i = 1, 2, 3 bekannt, so gilt für den Flächeninhalt F dieses Dreiecks

2 · F = x1 · (y2 - y3) + x2 · (y3 - y1) + x3 · (y1 - y2).

(b) Gegeben sei ein konvexes Viereck ABCD mit den gegen den Uhrzeigersinn nummerierten Eckkoordinaten (xi; yi) mit i = 1, ..., 4. Beweisen Sie die Trapezformel zur Berechnung des Flächeninhaltes F

2 · F = ∑ (xi + xi+1) · (yi+1 - yi); i = 1 ... 4, wobei x5 = x1 bzw. y5 = y1 gelte.

(c) Gegeben sei ein konvexes Polygon A1A2 ... An mit den gegen den Uhrzeigersinn nummerierten Eckkoordinaten (xi; yi) mit i = 1, ..., n. Beweisen Sie die Gaußsche Flächenformel zur Berechnung des Flächeninhaltes F

2 · F = ∑ xi · (yi+1 - yi); i = 1 ... n, wobei y0 = yn bzw. yn+1 = y1 gelte.