Aktuelle Serie


Einsendeschluss: 17. September 2019

Aufgabenblatt Serie 1


Aufgabe 1-1. Zwei Freunde A und B sitzen im Cafe, A hat ein Glas Milch und B eine Tasse Kaffee schwarz vor sich. A gibt einen Löffel voll Milch in die Tasse von B. Nachdem B umgerührt hat, gibt B einen Löffel (gleicher Größe) voll seines Kaffee-Milch-Getränkes in das Glas von A.
Es ist zu entscheiden, ob anschließend A weniger, gleich viel oder mehr Kaffee in seiner Milch hat als B Milch in seinem Kaffee. Man begründe die Antwort!

Aufgabe 1-2. Man ermittle die Summe der Größen der Innenwinkel an den fünf Spitzen des dargestellten fünfzackigen Sterns (s. Aufgabenblatt)!

Aufgabe 1-3. Gegeben sind zwei Dreiecke, das Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt A1 und das Dreieck DEF mit dem Flächeninhalt A2.
Man weise nach, dass man aus den beiden Dreiecken mit Hilfe geometrischer Grundkonstruktionen ein drittes Dreieck konstruieren kann, das den Flächeninhalt A1 + A2 hat.

(Hinweis: Es ist nachzuweisen, dass das konstruierte Dreieck die geforderte Eigenschaft besitzt).

Aufgabe 1-4. Man zeige: Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dass sich in 5 untereinander kongruente und jeweils zum Dreieck ABC ähnliche Dreiecke zerlegen lässt (d.h. ABC ist ein fünfteiliges Gerücht). Man gebe die Seitenlängen des Dreiecks und die Zerlegung an.

Aufgabe 1-5A.
Gegeben sei eine Reihe von 9 nummerierten Plätzen (Platznummern 1 bis 9). Schreibt man auf diese Plätze die Ziffern 1 bis 9 in beliebiger Reihenfolge F (jede Ziffer genau einmal) und bezeichnet die Summe aus den neun absoluten Differenzen von Platznummer und Ziffer auf dem Platz mit U(F), so definiert U(F) einen Wert der Unordnung von F.

(a) Man finde eine Reihenfolge mit dem Unordnungswert 26.

(b) Man beweise: Der Wert der Unordnung U ist stets eine gerade Zahl.

(c) Man finde den maximalen Wert der Unordnung U, die unter diesen Bedingungen erreichbar ist.

Aufgabe 1-5B.
Für das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen schreibt man n! (n-Fakultät):

(a) Man finde die größte ganze Zahl k, sodass 2019! durch 2019k teilbar ist?

(b) Man beweise, dass die Summe der Fakultäten zweier verschiedener Zahlen größer 1 keine Fakultätszahl ergibt, dass also die Gleichung a! + b! = c! für a > b > 1 keine Lösungen c besitzt.

(c) Man finde alle maximal dreistelligen Zahlen, die gleich der Summe der Fakultäten ihrer Ziffern sind.