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Aufgabenblatt Serie 7


Aufgabe 7-1. Gibt es Polyeder mit einer ungeraden Anzahl von Flächen, wobei jede Fläche ein Vieleck mit einer ungeraden Anzahl von Seiten ist? Beweisen Sie Ihre Vermutung!

Aufgabe 7-2. Beweisen Sie: Wenn a und b ganzzahlig sind, dann besitzt die Gleichung

x2 + 10 ⋅ a ⋅ x + 5 ⋅ b + 3 = 0

keine ganzzahlige Lösung.

Aufgabe 7-3. Ermitteln Sie alle ungeordneten Paare (x;y) aus zwei verschiedene natürlichen Zahlen x und y, für die Folgendes gilt: Das arithmetrische Mittel von x und y ist eine zweistellige Zahl. Vertauscht man deren Ziffern, so erhält man das geometrische Mittel von x und y.

Aufgabe 7-4. Ermitteln Sie alle Paare natürlicher Zahlen derart, dass jedes der Paare zusammen mit der Zahl 41 ein Tripel bildet, für das sowohl die Summe der drei Zahlen des Tripels als auch die Summe von je zwei beliebig aus dem Tripel ausgewählten Zahlen Quadrate natürlicher Zahlen sind.

Aufgabe 7-5A.

(a) Wenn die Summe zweier Quadratzahlen natürlicher Zahlen ein Vielfaches von 7 ist, so ist jede der Zahlen selbst durch 7 teilbar.

(b) Untersuchen Sie, ob es ein Zahlentrupel (w;x;y;z) natürlicher Zahlen (w>0,x>0,y>0,z>0) gibt, welches die folgende Gleichung erfüllt:

w2 + x2 = 5 ⋅ (y2 + z2)

(c) Beweisen Sie, dass es kein Zahlentrupel (w;x;y;z) natürlicher Zahlen (w>0,x>0,y>0,z>0) gibt, welches die folgende Gleichung erfüllt:

w2 + x2 = 7 ⋅ (y2 + z2)

Aufgabe 7-5B.In der Ebene sei P1P2P3P4 ein beliebiges Viereck E. Zu untersuchen ist folgende Aussage:

Sind Q1, Q2 ,Q3 und Q4 vier Punkte, die im Innern oder auf dem Rand von E liegen, so dass Q1Q2Q3Q4 ein zu E kongruentes Viereck ist, so ist jeder Punkt Qk (k = 1,2,3,4) ein Eckpunkt von E.

(a) Gibt es nichtkonvexe Vierecke E, für die die genannte Aussage falsch ist?

(b) Ist diese Aussage für alle nichtkonvexe Vierecke E falsch?

(c) Beweisen Sie, dass die Aussage für alle konvexen Vierecke wahr ist!