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Einsendeschluss: 11. Februar 2020

Aufgabenblatt Serie 4


Aufgabe 4-1. Man bestimme alle Paare (n ; k) mit natürlichen Zahlen n und k, die der Gleichung n! - 56k +10n genügen!

Aufgabe 4-2. Für welche positiven ganzen Zahlen n gibt es eine Quadratzahl, deren letzten n Ziffern in der Dezimaldarstellung sämtlich gleich 4 sind?

Aufgabe 4-3. Man finde alle Paare (p ; q) von Primzahlen, für die es positive ganze Zahlen x und y gibt, so dass gilt:

p = x2 - y
q = y2 + 3x - 7

Aufgabe 4-4. In einem Quadrat ABCD seien die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD und DA mit E, F, G bzw. H bezeichnet. In dem Streckenzug AFDECHBGA auftretende Schnittpunkte seien so mit K, L, M, N, O, P, Q, R bezeichnet, dass AKELBMFNCOGPDQHR ein (nichtkonvexes) Sechszehneck ist (s. Aufgabenblatt).

Man ermittle das Verhältnis des Flächeninhaltes dieses Sechszehnecks und des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD.

Aufgabe 4-5A.
Es sei P ein Polynom vom Grad n (n > 0) mit ganzzahligen Koeffizienten a0, a1, ... an,

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0.

(a) Man zeige, dass nicht gleichzeitig P(2015) = 2017 und P(2019) = 2019 gelten kann.
(b) Man zeige: Ist x eine rationale Nullstelle des Polynomes P, also P(x) = 0, und gilt an = 1, so ist x ganzzahlig.
(c) Ist sowohl P(2019) als auch P(2020) ungerade, so besitzt P keine ganzzahlige Nullstelle.

Aufgabe 4-5B.
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl, die in der Dezimaldarstellung aus den Ziffern a0, a1, ... ak bestehe. Unter der Quadratquersumme QQS von n verstehe man die Summe der Quadratzahlen ihrer Ziffern, also den Ausdruck

QQS(n) = a02 + a12 + ... + ak2.

Ausgehend von einer beliebigen Zahl n0 erhält man durch wiederholte Anwendung der Bildung der Quadratquersumme die 'Folge der Quadratquersummen von n', also

nj+1 = QQS(nj) mit j = 0, 1, 2, ...

(a) Man vergleiche die Folgen der Quadratquersummen von 2019 und 2020.
(b) Man gebe vier (wesentlich verschiedene) dreistellige Zahlen an, bei denen in den Folgen der Quadratquersummen die Zahl 1 auftritt!
(Bemerkung: Zwei Zahlen, die sich nur durch die Anordnung ihrer Ziffern unterscheiden, gelten im Sinne der Quadratquersummen nicht als wesentlich verschieden.)
(c) Man beweise: Für jede natürliche Zahl n ist die Folge der Quadratquersummen (ab einem bestimmten Folgenglied) periodisch.