Aufgaben

 


Aufgabenblatt Serie 7

Aufgabe 7-1. Karlheinz will aus gleichgroßen roten und weißen Quadratflächen lückenlos eine Rechteckfläche derartig zusammensetzen, dass sämtliche an den Rand dieses Rechtecks grenzenden Quadratflächen rot sind, während alle übrigen (im Innern gelegenen Quadratflächen) weiß sein sollen. Dabei soll die Anzahl der roten Quadratflächen gleich der Anzahl der weißen Quadratflächen sein.
Man gebe alle Rechteckflächen an, die Karlheinz unter diesen Bedingungen bilden kann.

Aufgabe 7-2. Man berechne die Summe S aller der (im dezimalen Positionssystem) dreistelligen natürlichen Zahlen, die jeweils mit voneinander verschiedenen Ziffern und ohne Ziffer 0 dargestellt werden.

Aufgabe 7-3. Es sei A der Flächeninhalt und u = a + b + c der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c. Man ermittle das Maximum des Verhältnisses z = A : u2. Für welche Dreiecke wird es angenommen?

Aufgabe 7-4. Man ermittle alle geordneten Paare (x ; y) jeweils zweistelliger Zahlen x und y mit x > y, für die folgendes (gleichzeitig) gilt:

(*) Schreibt man die Ziffern der Zahl x in umgekehrter Reihenfolge, so erhält man die Zahl y.
(**) Schreibt man die Ziffern der Zahl x2 in umgekehrter Reihenfolge, so erhält man die Zahl y2.

Aufgabe 7-5A.
(a) Man gebe für jede reelle Zahl a alle diejenigen linearen Funktionen f(x) an, die die Eigenschaft haben, dass für jedes reelle x gilt:

f(x)=f(x + 1) - a

(b) Man gebe alle quadratischen Funktionen f(x) an, die für alle reellen x die Gleichung erfüllen:

f(x + 1) = f(-x)

(c) Es sei f eine Funktion, die für alle reellen Zahlen x definiert ist und die folgende Eigenschaft hat: Für alle x gilt

f(x) = x ⋅ f(x + 1)
f(1) = 1

Man ermittle alle ganzen Zahlen n, für die f(n) = 0 gilt.

Aufgabe 7-5B.
Gitterpunkte der Ebene (bzw. des Raumes) seien alle Punkte, deren Koordinaten bezüglich eines ebenen (bzw. räumlichen) kartesischen Koordinatensystems ganze Zahlen sind.

(a) Es seien in der Ebene 5 Gitterpunkte (bzw. im Raum 9 Gitterpunkte) beliebig ausgewählt. Man zeige, dass der Mittelpunkt mindestens einer der Verbindungsstrecken von je zwei dieser Punkte wieder ein Gitterpunkt ist.

(b) Man zeige: Es gibt unendlich viele regelmäßige Tetraeder, dessen Eckpunkte Gitterpunkte des Raumes sind.

(c) Man zeige: Es gibt kein gleichseitiges Dreieck, dessen Eckpunkte Gitterpunkte der Ebene sind.

Aufgabenblatt Serie 6

Aufgabe 6-1. Gesucht sind alle vierstelligen natürlichen Zahlen n mit der folgenden Eigenschaft: Teilt man die Dezimaldarstellung von n durch einen „Schnitt“ in der Mitte, sodass zwei zweistellige natürlichen Zahlen a und b entstehen, so ist das Quadrat aus der Summe von a und b gleich n.

Aufgabe 6-2. Jede konvexe Vierecksfläche wird durch ihre Diagonalen in vier Dreiecksflächen zerlegt. Man beweise, dass ein konvexes Viereck genau dann ein Parallelogramm ist, wenn je zwei beliebige der vier Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben.

Aufgabe 6-3. Es sei ABCD ein Rechteck, und es sei P ein Punkt, der nicht notwendig in der Ebene des Rechtecks zu liegen braucht. P habe vom Eckpunkt A den Abstand a, vom Punkt B den Abstand b und von C den Abstand c.
Man berechne den Abstand d des Punktes P vom Eckpunkt D und zeige dabei, dass zur Ermittlung dieses Abstandes d die Kenntnis der drei Abstände a, b, c ausreicht.

Aufgabe 6-4. Man beweise folgenden Satz: Wenn in einer quadratischen Gleichung a · x2 + b · x + c = 0 die Koeffizienten a, b, c sämtlich ungerade Zahlen sind, dann hat diese Gleichung keine rationalen Lösungen.

Aufgabe 6-5A.
Ein Würfel mit der Kantenlänge 1 m werde durch einen ebenen Schnitt in zwei Teile zerlegt. Man betrachte im Folgenden die dabei entstehende Schnittfläche.

(a) Kann der Schnitt so erfolgen, dass die Schnittfläche ein Quadrat mit einem Flächeninhalt von mehr als 1,1 m2 einschließt?

(b) Kann der Schnitt so erfolgen, dass die Schnittfläche ein regelmäßiges Sechseck ist?

(c) Für welche ungeraden Zahlen n > 1 gilt: Es gibt einen ebenen Schnitt derart, dass die Schnittfläche ein regelmäßiges n-Eck ist.

Aufgabe 6-5B. Ein n-Tupel von natürlichen Zahlen a1, a2, ..., an heißt Pythagoreisches Zahlen-n-Tupel (kurz P-n-Tupel genannt), falls seine Zahlen die Gleichung

a12 + a22 + ... an-12 = an2

erfüllen.

(a) Man beweise: Ist die Differenz zweier Quadratzahlen von natürlichen Zahlen geradzahlig, so ist sie durch 4 teilbar.

(b) Man untersuche, ob ein P-102-Tupel mit geeigneten natürlichen Zahlen a101 und a102 existiert, dessen Zahlen a1, a2, ..., a100 die ersten 100 natürlichen Zahlen 1, 2, ..., 100 sind!

(c) Gegeben sei ein P-n-Tupel ( a1, a2, ..., ak, ..., an) mit ungeradzahligem an (1 < k < n). Man gebe ein P-(n+1)-Tupel an, das ebenfalls mit a1, a2, ..., ak beginnt?

Aufgabenblatt Serie 5

Aufgabe 5-1. In der Ebene seien 3n Punkte gegeben (n natürliche Zahl, n > 1), von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Kann man aus diesen Punkten (wenn man sie als Eckpunkte nimmt) n Dreiecke bilden, die paarweise keine Punkte gemeinsam haben und nicht ineinander enthalten sind?

Aufgabe 5-2. Man finde alle Primzahlen p1, p2, p3, p4, p5, p6, sodass folgende Gleichung gilt:

p12 = p22 + p32 + p42 + p52 + p62.

Aufgabe 5-3. (Aufgabe 1 des Bundeswettbewerbs Mathematik 2019, 1. Runde)
Ein 8x8-Schachbrett wird mit 32 Dominosteinen der Größe 1x2 vollständig und überschneidungsfrei bedeckt. Beweise: Es gibt stets zwei Dominosteine, die ein 2x2-Quadrat bilden.

Aufgabe 5-4. (Aufgabe 3 des Bundeswettbewerbs Mathematik 2019, 1. Runde)
Im Quadrat ABCD werden auf der Seite BC der Punkt E und auf der Seite CD der Punkt F so gewählt, dass ∠EAF = 45° gilt und weder E noch F Eckpunkte des Quadrates sind. Die Geraden AE und AF schneiden den Umkreis des Quadrates außer im Punkt A noch in den Punkten G bzw. H. Beweise, dass die Geraden EF und GH parallel sind.

Aufgabe 5-5A.

(a) Man beweise die Ungleichung n! ≤ (½ ·(n+1))n für alle natürlichen Zahlen n.

(b) Man beweise die Ungleichung √ 1 + √ 2 + ... + √ n < ¼ · n · (n+3) für n > 1.

(c) Man finde eine natürliche Zahl n, für die mit üblicher Rundungsregel gilt:
1/√ 1 + 1/√ 2 + ... + 1/√n ≈ 2019

Aufgabe 5-5B. (Nach einer Anregung des Ingenieurbüros Wuttke)
Vor der Entwicklung der elektronischen Distanzmessung wurden Vermessungen häufig im Rechtewinkelverfahren durchgeführt. Dafür wird durch die aufzunehmende Fläche eine Messungslinie (Messachse) gelegt und darauf die aufzumessenden Punkte (z.B. Grenzpunkte) rechtwinklig vermessen. Mit der GPS-basierten Messung können alle Punkte mit ihren Koordinaten (ausreichend) exakt bestimmt werden.

(a) Sind für ein Dreieck ABC die Eckkoordinaten (xi; yi) mit i = 1, 2, 3 bekannt, so gilt für den Flächeninhalt F dieses Dreiecks

2 · F = x1 · (y2 - y3) + x2 · (y3 - y1) + x3 · (y1 - y2).

(b) Gegeben sei ein konvexes Viereck ABCD mit den gegen den Uhrzeigersinn nummerierten Eckkoordinaten (xi; yi) mit i = 1, ..., 4. Beweisen Sie die Trapezformel zur Berechnung des Flächeninhaltes F

2 · F = ∑ (xi + xi+1) · (yi+1 - yi); i = 1 ... 4, wobei x5 = x1 bzw. y5 = y1 gelte.

(c) Gegeben sei ein konvexes Polygon A1A2 ... An mit den gegen den Uhrzeigersinn nummerierten Eckkoordinaten (xi; yi) mit i = 1, ..., n. Beweisen Sie die Gaußsche Flächenformel zur Berechnung des Flächeninhaltes F

2 · F = ∑ xi · (yi+1 - yi); i = 1 ... n, wobei y0 = yn bzw. yn+1 = y1 gelte. Aufgabenblatt Serie 4

Aufgabe 4-1. Man bestimme die größte einstellige Zahl, die alle diejenigen 180-stelligen natürlichen Zahlen teilt, die durch Aneinanderhängen der neunzig zweistelligen Zahlen 10, 11, ..., 99 in beliebiger Reihenfolge entstehen.

Aufgabe 4-2. Zeigen Sie, dass es unter allen Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist, genau eine Kubikzahl gibt.

Aufgabe 4-3. Man bestimme alle diejenigen 8-stelligen Zahlen, in denen alle Ziffern von 1 bis 8 vorkommen und die folgenden Bedingungen erfüllen: Die Zahlen aus den ersten zwei, drei, ..., acht Ziffern (von links aus gezählt) sind jeweils durch 2, 3, ..., 8 teilbar.

Aufgabe 4-4. Konstruieren Sie einen Rhombus ABCD aus e + f und α. Dabei bedeutet e die Länge der Diagonalen AC, f die Länge der Diagonalen BD und α die Größe des Innenwinkels DAB.

Aufgabe 4-5A.

(a) Man entscheide, ob die Zahl x = √(1+√(2+√(3+ ... +√(2018)))) rational oder irrational ist.
(b) Für beliebige natürliche Zahlen x und y sei √(x)+√(y)+√(x+y). Man zeige, dass es
- unendlich viele Paare (x ; y) gibt, so dass z rational ist.
- unendlich viele Paare (x ; y) gibt, so dass z irrational ist.
(c) Man untersuche, ob es positive rationale Zahlen t gibt, für die √(t+√(t)) rational ist. Wenn es solche Zahlen t gibt, entscheide man, ob es endlich viele oder unendlich viele solche Zahlen t gibt.

Aufgabe 4-5B. Gibt es für ein ebenes Vieleck einen Punkt der Ebene, sodass die Summe der Abstände von diesem Punkt zu allen Eckpunkten des Vielecks minimal ist, so wird dieser Punkt FERMAT-Punkt genannt, da der französische Mathematiker PIERRE DE FERMAT (1601 bis 1665) die Frage nach der Existenz eines solchen Punktes im Dreieck erstmalig gestellt hat.

(a) Man zeige, dass es im gleichseitigen Dreieck einen FERMAT-Punkt gibt.
(b) Man beweise: In einem konvexen Viereck ist der Schnittpunkt der Diagonalen der FERMAT-Punkt.
(c) Gibt es für jedes konkave Viereck (d.h. für ein Viereck mit einem Winkel größer als 180°) einen FERMAT-Punkt?

Aufgabenblatt Serie 3

Aufgabe 3-1. Bei einer 202-stelligen Quadratzahl 999...999z000...0009 (mit 100 Neunen im linken Teil und 100 Nullen im rechten Teil) ist die Ziffer z an der 102-ten Dezimalstelle von rechts nicht lesbar. Ermitteln Sie eine mögliche Ziffer, die dort stehen kann.

Aufgabe 3-2. Gegeben seien 2016 paarweise verschiedene positive reelle Zahlen, wobei das Produkt von irgend 13 dieser Zahlen stets größer als 1 ist. Kann dann das Produkt aller 2016 Zahlen kleiner als 1 sein?.

Aufgabe 3-3. Eine Summe aus 335 paarweise verschiedenen positiven ganzen Zahlen hat den Wert 100000.
a) Wie viele ungerade Summanden müssen in der Summe mindestens vorkommen?
b) Wie viele ungerade Summanden können es höchstens sein?

Aufgabe 3-4. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind Umkreis- und Inkreisradius gegeben. Man konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal, beschreibe die Konstruktion und begründe ihre Richtigkeit.

Aufgabe 3-5A. Man beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Differenz der Quadratzahlen zweier ungerader natürlicher Zahlen ist stets durch 8 teilbar.
(b) Für alle ganzen Zahlen a und b gilt: Wenn a2 + b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.
(c) Ist die Summe dreier natürlicher Zahlen durch 6 teilbar, dann ist auch die Summe der Kuben dieser drei Zahlen durch 6 teilbar.

Aufgabe 3-5B. Es sind an das arithmetische Mittel und gn das geometrische Mittel der natürlichen Zahlen x1, x2, ..., xn (n > 1). Mit Sn sei die folgende Behauptung bezeichnet:

Sn : Ist an/gn eine natürliche Zahl, so ist x1 = x2 = ... = xn.

(a) Man zeige, dass S3 im Allgemeinen falsch ist.
(b) Man zeige: Es gibt eine natürliche Zahl m > 1, so dass für x1 = m und x2 = x3 = x4 = 1 das Verhältnis a4/g4 eine natürliche Zahl ist.
(c) Man beweise, dass S2 stets richtig ist.

Aufgabenblatt Serie 2

Aufgabe 2-1. Es sollen Dreiecke mit zufällig ausgewählten Seitenlängen konstruiert werden. Mit einem Spielwürfel werden die Seitenlängen ermittelt, wobei die jeweils geworfene Augenzahl die Länge einer Seite in cm angibt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus drei nacheinander gewürfelten Zahlen a, b und c ein Dreieck mit den Seitenlängen a cm, b cm und c cm konstruiert werden kann.

Hinweis: Wir nehmen an, dass die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 gewürfelt werden.

Aufgabe 2-2. Die Zahlen 12, 13 und 15 sind - in irgendeiner Reihenfolge - Maßzahlen zweier Seiten und der Höhe über der dritten Seite eines Dreiecks. Man ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 2-3. Es sei s = ∛(20+14√ 2)-∛(20-14√ 2).
Man berechne s2 und s3. Man untersuche, ob s rational ist und gebe in diesem Fall den rationalen Wert an!

Aufgabe 2-4. Es ist zu beweisen: In jedem Dreieck ist die Summe der Längen der Seitenhalbierenden kleiner als der Umfang des Dreiecks.

Aufgabe 2-5A. Von einem Kreis sind zwei Punkte A und B und eine Tangente g gegeben. Man konstruiere den Kreis und gebe jeweils die Konstruktionsbeschreibung an, falls

(a) der Punkt A auf g liegt.
(b) die Gerade durch A und B parallel zu g ist.
(c) die Gerade durch A und B die Tangente g in einem Punkt S schneidet, der von A und B verschieden ist.

Aufgabe 2-5B.
(a) Man zeige: Unter 52 natürlichen Zahlen gibt es stets zwei, deren Summe oder deren Differenz durch 100 teilbar ist.
(b) In einem Quadrat mit der Seitenlänge 7 sind 51 Punkte markiert. Es ist zu zeigen, dass es unter diesen Punkten stets drei gibt, die im Inneren eines Kreises mit dem Radius 1 liegen.
(c) In einem regelmäßigen Neuneck sei jede Ecke entweder rot oder grün gefärbt. Je drei Ecken des Neunecks bestimmen ein Dreieck. Ein solches Dreieck heiße rot bzw. grün, wenn seine Ecken alle rot bzw. alle grün sind. Man beweise, dass es bei jeder derartigen Färbung des Neunecks mindestens zwei verschiedene kongruente Dreiecke gleicher Farbe gibt.

Aufgabenblatt Serie 1

Aufgabe 1-1. Man finde alle positiven ganzen Zahlen, die gleich der Summe ihrer Quersumme und ihres Querproduktes sind?

Aufgabe 1-2. Unter einem magischen Multiplikationsquadrat n-ter Ordnung versteht man eine Anordnung von n2 paarweise verschiedenen natürlichen (nicht notwendig aufeinander folgenden) Zahlen auf einem n x n-Quadrat, sodass die Produkte der Zahlen in jeder Spalte, jeder Zeile und jeder Diagonale gleich einer Konstante sind. Man untersuche, ob es für n > 2 magische Multiplikationsquadrate gibt!

Aufgabe 1-3. Jemand hat 55 Bälle, von denen einige blau sind und die übrigen rot. Außerdem hat er 10 Kisten; in die erste passt genau ein Ball, in die zweite passen genau zwei Bälle usw.
Zeigen Sie, dass es möglich ist, alle Bälle so in den Kisten zu verstauen, dass in keiner Kiste Bälle unterschiedlicher Farbe vorkommen.

Aufgabe 1-4. Gegeben sei ein Quadrat. Ein Kreis soll so gezeichnet werden, dass er zwei benachbarte Seiten des Quadrates berührt und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Quadrates geht. Man beschreibe die Konstruktion.

Aufgabe 1-5A. Gegeben sei für S die Summendarstellung s = 1 + 3 + ... + 31. Man könnte vermuten, dass unter S die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis 31 gemeint ist, also S = S1(16) = ∑ (k = 1 ... 16)(2k - 1).

(a) Man leite eine Formel zur Berechnung der Summe der ersten n ungeraden Zahlen her, also einen Ausdruck ohne Summenzeichen für S1 in Abhängigkeit von n: S1(n) = ∑ (k = 1 ... n)(2k - 1).

(b) Es ist zu zeigen, dass die Darstellung von S = 1 + 3 + ... + 31 nicht eindeutig ist. Man gebe außer S1 (mit 16 Summanden) zwei weitere Summen mit verschiedener Summandenzahl an, in denen die Summanden 1, 3 und 31 wie angegeben als erste, zweite bzw. letzte Summanden vorkommen, und verwende für die Summendarstellung das Summenzeichen.

(c) Man gebe unter Verwendung des Summenzeichens eine Darstellung für S = 1 + 3 + ... + 31 derart an, dass sich bei insgesamt 4 Summanden die Summe 45 ergibt. Man berechne die Summe der ersten 6 Zahlen gemäß dieser Darstellung. Kann man für jede vorgegebene Zahl A unter Verwendung des Summenzeichens eine Darstellung für S finden, sodass S(4) = A gilt?

Aufgabe 1-5B. Es sind n Punkte (n > 1) so in einem Quadrat der Seitenlänge 1 zu verteilen, dass ihr Mindestabstand möglichst groß wird. Unter Mindestabstand dn zwischen n Punkten einer gegebenen Verteilung wird die kleinste Länge von den insgesamt ½n(n-1) möglichen Verbindungsstrecken zwischen je zwei Punkten verstanden. Für n = 2 ist die Lösung der Aufgabe trivial und man findet d2 = √ 2. Für n = 4 erscheint d4 = 1 als naheliegend, aber dafür ist bereits ein Beweis notwendig.

(a) Man gebe für n = 3 eine Verteilung mit möglichst großem Mindestabstand d3 an und bestimme die Größe von d3 für das gewählte Beispiel.

(b) Man beweise, dass es eine Verteilung von n = 6 Punkten gibt, sodass der Mindestabstand d6 größer als 0,58 wird.

(c) Man finde eine Verteilung von n = 5 Punkten, sodass der Mindestabstand d5 maximal wird. Man zeige, dass es keine Verteilung gibt, die einen größeren Mindestabstand erreicht.