Aufgaben

 

Aufgabenblatt Serie 1

Aufgabe 1-1. Zwei Freunde A und B sitzen im Cafe, A hat ein Glas Milch und B eine Tasse Kaffee schwarz vor sich. A gibt einen Löffel voll Milch in die Tasse von B. Nachdem B umgerührt hat, gibt B einen Löffel (gleicher Größe) voll seines Kaffee-Milch-Getränks in das Glas von A. Es ist zu entscheiden, ob anschließend A weniger, gleich viel oder mehr Kaffee in seiner Milch hat als B Milch in seinem Kaffee. Man begründe die Antwort!

Aufgabe 1-2. Man ermittle die Summe der Größen der Innenwinkel an den fünf Spitzen des dargestellten fünfzackigen Sterns!

Aufgabe 1-3. Gegeben sind zwei Dreiecke, das Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt A1 und das Dreieck DEF mit dem Flächeninhalt A2. Man weise nach, dass man aus den beiden Dreiecken mit Hilfe geometrischer Grundkonstruktionen ein drittes Dreieck konstruieren kann, das den Flächeninhalt A1 + A2 hat.
(Hinweis: Es ist nachzuweisen, dass das konstruierte Dreieck die geforderte Eigenschaft besitzt).

Aufgabe 1-4. Man zeige: Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dass sich in 5 untereinander kongruente und jeweils zum Dreieck ABC ähnliche Dreiecke zerlegen lässt (d.h. ABC ist ein fünfteiliges Gerücht). Man gebe die Seitenlängen des Dreiecks und die Zerlegung an.

Aufgabe 1-5A. Gegeben sei eine Reihe von 9 nummerierten Plätzen (1 bis 9). Schreibt man auf diese Plätze die Ziffern 1 bis 9 in beliebiger Reihenfolge F (jede Ziffer genau einmal) und bezeichnet die Summe aus den neun absoluten Differenzen von Platznummer und Ziffer auf dem Platz mit U(F), so definiert U(F) einen Wert der Unordnung von F.

(a) Man finde eine Reihenfolge mit dem Unordnungswert 26.

(b) Man beweise: Der Wert der Unordnung U ist stets eine gerade Zahl.

(c) Man finde den maximalen Wert der Unordnung U, die unter diesen Bedingungen erreichbar ist.

Aufgabe 1-5B. Für das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen schreibt man n! (n-Fakultät): n! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n.

(a) Man finde die größte Zahl k, so dass 2018! durch 2018k teilbar ist.

(b) Man beweise, dass die Summe der Fakultäten zweier verschiedener Zahlen größer 1 keine Fakultätszahl ergibt, dass also die Gleichung a! + b! = c! für a > b > 1 keine Lösungen c besitzt.

(c) Man finde alle maximal dreistelligen Zahlen, die gleich der Summe der Fakultäten ihrer Ziffern sind.

Aufgabenblatt Serie 2

Aufgabe 2-1. Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl n, bei der sowohl deren Quersumme Q(n) als auch die Quersumme Q(n + 1) des Nachfolgers (n + 1) durch 11 teilbar sind.

Aufgabe 2-2. Drei gleich große Kreise mit dem Radius r berühren sich gegenseitig von außen. Wie groß ist die von ihnen eingeschlossene Fläche in Abhängigkeit von r.

Aufgabe 2-3. Natürliche Zahlen, die durch ihre eigene Quersumme teilbar sind, werden Harshad-Zahlen genannt. Weisen Sie nach, dass unter 18 aufeinanderfolgenden dreistelligen natürlichen Zahlen stets mindestens eine Harshad-Zahl ist.

Aufgabe 2-4. Gegeben sei ein Dreieck ABC und auf AB ein Punkt D. Man konstruiere einen Punkt E auf einer der beiden anderen Dreieckseiten so, dass DE die Dreieckfläche in zwei flächengleiche Teile zerlegt. Die Konstruktion ist zu beschreiben, zu begründen und zu diskutieren.

Aufgabe 2-5A. In der Ebene seien endlich viele Punkte gegeben. Jeden von diesen verbinde man mit seinem nächstgelegenen Punkt durch eine Gerade. Alle Abstände seien verschieden, daher ist es eindeutig, welcher Punkt jedem Punkt am nächsten liegt.

(a) Man zeige: die entstehende Figur enthält keine sich schneidende Strecken.

(b) Man zeige: die entstehende Figur enthält kein geschlossenes Polygon.
(Hinweis: Ein ebenes Polygon stellt einen Streckenzug P1, P2, .. Pn dar. Ist P1 = Pn, so heißt das Polygon geschlossen.)

(c) Man beweise: Bilden je drei Punkte der gegebenen Menge ein Dreieck, dessen Fläche kleiner oder gleich 1 Flächeneinheit (FE) ist, so gibt es ein Dreieck mit der Fläche von 4 FE, das alle gegebenen Punkte enthält.

Aufgabe 1-5B. Für das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen schreibt man n! (n-Fakultät): n! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n.

(a) Man untersuche, ob es keine, endlich viele oder unendlich viele Tripel natürlicher Zahlen (k, m, n) mit n > m > 1 gibt, die die Gleichung m! ⋅ n! = k² erfüllen.

(b) Man beweise: Für jede natürliche Zahl n > 24 endet die Zahl n! auf mindestens n/5 Nullen.

(c) Man zeige, dass die Dezimalzahl 0,(1!)(2!)(3!)... (also nach dem Komma die Aneinanderreihung der Ziffern der Fakultäten, d.h. 0,1 2 6 24 120...) irrational ist.
(Hinweis: Eine rationale Zahl hat entweder eine abbrechende oder eine periodische Dezimaldarstellung.)

Aufgabenblatt Serie 3

Aufgabe 3-1. Kann man die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 21 so in Teilmengen zerlegen, dass in jeder dieser Teilmengen die größte Zahl gleich der Summe der übrigen Zahlen dieser Teilmenge ist?

Aufgabe 3-2. Kann man ein Quadrat der Seitenlänge 5 cm vollständig mit drei Quadraten der Seitenlänge 4 cm überdecken, wenn keinerlei Einschränkung an die Lage dieser Quadrate gegeben wird?

Aufgabe 3-3. Man stelle die Zahl 1000 so als Summe natürlicher Zahlen dar, dass die Addition der Kehrwerte dieser Zahlen den Wert 1 ergibt.

Aufgabe 3-4. Es sei eine Menge von 2017 ganzen Zahlen gegeben, sodass zu je drei dieser Zahlen auch deren arithmetisches Mittel enthalten ist. Beweisen Sie, dass alle Zahlen gleich sind.

Aufgabe 3-5A.
(a) Zum vollständigen Auslegen des Fußbodens eines rechteckigen Zimmers sind rechteckige Platten des Formates 2 x 2 und solche des Formates 4 x 1 verwendet worden. Man beweise, dass das Auslegen nicht möglich ist, wenn man für das erneute Auslegen von der einen Sorte eine Platte weniger und von der anderen Sorte eine Platte mehr verwenden will.

(b) Man untersuche, ob der Fußboden eines rechteckigen Zimmers mit Platten der Form F1 (s. Aufgabenblatt) vollständig ausgelegt werden kann.

(c) Man gebe Bedingungen für die Seitenlängen des rechteckigen Zimmers an, sodass der Fußboden nur mit Platten der Form F2 (s. Aufgabenblatt) ausgelegt werden kann.

Aufgabe 3-5B. Gegeben seien drei natürliche Zahlen a, b, c, bei denen das Produkt von je zweien bei Division durch die dritte den Rest 1 lässt.

(a) Man zeige: die Zahlen a, b, c sind paarweise teilerfremd.

(b) Man beweise die Ungleichung abc < ab + bc + ca.

(c) Man finde alle Lösungen für die Zahlen a, b und c, die die beschriebene Eigenschaft haben.



Aufgabenblatt Serie 4

Aufgabe 4-1. Man bestimme alle Paare (n ; k) mit natürlichen Zahlen n und k, die der Gleichung n! - 56k + 10n = 0 genügen!

Aufgabe 4-2. Man beweise: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse mindestens so groß wie die vierfache Dreiecksfläche.

Aufgabe 4-3. Man finde alle Paare (p ; q) von Primzahlen, für die es positive ganze Zahlen x und y gibt, so dass gilt:

p = x2 - y
q = y2 +3x -7

Aufgabe 4-4. In einem Quadrat ABCD seien die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD und DA mit E, F, G bzw. H bezeichnet. In dem Streckenzug AFDECHBGA auftretende Schnittpunkte seien so mit K, L, M, N, O, P, Q, R bezeichnet, dass AKELBMFNCOGPDQHR ein (nichtkonvexes) Sechszehneck ist.
Man ermittle das Verhältnis des Flächeninhaltes dieses Sechszehnecks und des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD.

Aufgabe 4-5A. Es sei P ein Polynom vom Grad n (n > 0) mit ganzzahligen Koeffizienten a0, a1, ... an, also P(x) = an · xn + an-1 · xn-1 + ... + a0.
(a) Man zeige, dass nicht gleichzeitig P(2013) = 2015 und P(2017) = 2017 gelten kann.

(b) Man zeige: Ist x eine rationale Nullstelle des Polynomes P, also P(x) = 0, und gilt an = 1, so ist x ganzzahlig.

(c) Ist sowohl P(2017) als auch P(2018) ungerade, so besitzt P keine ganzzahlige Nullstelle.

Aufgabe 4-5B. Es sei n eine beliebige natürliche Zahl, die in der Dezimaldarstellung aus den Ziffern a1, a2, ..., an bestehe. Unter der Quadratquersumme QQS von n verstehe man die Summe der Quadratzahlen ihrer Ziffern, also den Ausdruck QQS(n) = a12 + a22 + ... + an2.
Ausgehend von einer beliebigen Zahl n = n0 erhält man durch wiederholte Anwendung der Bildung der Quadratquersumme die Folge der Quadratquersummen von n, also n0, n1, ... mit nj+1 = QQS(nj), j = 0,1,2,...

(a) Man vergleiche die Folgen der Quadratquersummen von 2017 und 2018.

(b) Man gebe vier (wesentlich verschiedene) dreistellige Zahlen an, bei denen in den Folgen der Quadratquersummen die Zahl 1 auftritt!
(Bemerkung: Zwei Zahlen, die sich nur durch die Anordnung ihrer Ziffern unterscheiden, gelten im Sinne der Quadratquersummen nicht als wesentlich verschieden.)

(c) Man beweise: Für jede natürliche Zahl n ist die Folge der Quadratquersummen (ab einem bestimmten Folgenglied) periodisch.