Aufgaben

 

Aufgabenblatt Serie 4

Aufgabe 4-1. Man bestimme die größte einstellige Zahl, die alle diejenigen 180-stelligen natürlichen Zahlen teilt, die durch Aneinanderhängen der neunzig zweistelligen Zahlen 10, 11, ..., 99 in beliebiger Reihenfolge entstehen.

Aufgabe 4-2. Zeigen Sie, dass es unter allen Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist, genau eine Kubikzahl gibt.

Aufgabe 4-3. Man bestimme alle diejenigen 8-stelligen Zahlen, in denen alle Ziffern von 1 bis 8 vorkommen und die folgenden Bedingungen erfüllen: Die Zahlen aus den ersten zwei, drei, ..., acht Ziffern (von links aus gezählt) sind jeweils durch 2, 3, ..., 8 teilbar.

Aufgabe 4-4. Konstruieren Sie einen Rhombus ABCD aus e + f und α. Dabei bedeutet e die Länge der Diagonalen AC, f die Länge der Diagonalen BD und α die Größe des Innenwinkels DAB.

Aufgabe 4-5A.

(a) Man entscheide, ob die Zahl x = √(1+√(2+√(3+ ... +√(2018)))) rational oder irrational ist.
(b) Für beliebige natürliche Zahlen x und y sei √(x)+√(y)+√(x+y). Man zeige, dass es
- unendlich viele Paare (x ; y) gibt, so dass z rational ist.
- unendlich viele Paare (x ; y) gibt, so dass z irrational ist.
(c) Man untersuche, ob es positive rationale Zahlen t gibt, für die √(t+√(t)) rational ist. Wenn es solche Zahlen t gibt, entscheide man, ob es endlich viele oder unendlich viele solche Zahlen t gibt.

Aufgabe 4-5B. Gibt es für ein ebenes Vieleck einen Punkt der Ebene, sodass die Summe der Abstände von diesem Punkt zu allen Eckpunkten des Vielecks minimal ist, so wird dieser Punkt FERMAT-Punkt genannt, da der französische Mathematiker PIERRE DE FERMAT (1601 bis 1665) die Frage nach der Existenz eines solchen Punktes im Dreieck erstmalig gestellt hat.

(a) Man zeige, dass es im gleichseitigen Dreieck einen FERMAT-Punkt gibt.
(b) Man beweise: In einem konvexen Viereck ist der Schnittpunkt der Diagonalen der FERMAT-Punkt.
(c) Gibt es für jedes konkave Viereck (d.h. für ein Viereck mit einem Winkel größer als 180°) einen FERMAT-Punkt?

Aufgabenblatt Serie 3

Aufgabe 3-1. Bei einer 202-stelligen Quadratzahl 999...999z000...0009 (mit 100 Neunen im linken Teil und 100 Nullen im rechten Teil) ist die Ziffer z an der 102-ten Dezimalstelle von rechts nicht lesbar. Ermitteln Sie eine mögliche Ziffer, die dort stehen kann.

Aufgabe 3-2. Gegeben seien 2016 paarweise verschiedene positive reelle Zahlen, wobei das Produkt von irgend 13 dieser Zahlen stets größer als 1 ist. Kann dann das Produkt aller 2016 Zahlen kleiner als 1 sein?.

Aufgabe 3-3. Eine Summe aus 335 paarweise verschiedenen positiven ganzen Zahlen hat den Wert 100000.
a) Wie viele ungerade Summanden müssen in der Summe mindestens vorkommen?
b) Wie viele ungerade Summanden können es höchstens sein?

Aufgabe 3-4. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind Umkreis- und Inkreisradius gegeben. Man konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal, beschreibe die Konstruktion und begründe ihre Richtigkeit.

Aufgabe 3-5A. Man beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Differenz der Quadratzahlen zweier ungerader natürlicher Zahlen ist stets durch 8 teilbar.
(b) Für alle ganzen Zahlen a und b gilt: Wenn a2 + b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.
(c) Ist die Summe dreier natürlicher Zahlen durch 6 teilbar, dann ist auch die Summe der Kuben dieser drei Zahlen durch 6 teilbar.

Aufgabe 3-5B. Es sind an das arithmetische Mittel und gn das geometrische Mittel der natürlichen Zahlen x1, x2, ..., xn (n > 1). Mit Sn sei die folgende Behauptung bezeichnet:

Sn : Ist an/gn eine natürliche Zahl, so ist x1 = x2 = ... = xn.

(a) Man zeige, dass S3 im Allgemeinen falsch ist.
(b) Man zeige: Es gibt eine natürliche Zahl m > 1, so dass für x1 = m und x2 = x3 = x4 = 1 das Verhältnis a4/g4 eine natürliche Zahl ist.
(c) Man beweise, dass S2 stets richtig ist.

Aufgabenblatt Serie 2

Aufgabe 2-1. Es sollen Dreiecke mit zufällig ausgewählten Seitenlängen konstruiert werden. Mit einem Spielwürfel werden die Seitenlängen ermittelt, wobei die jeweils geworfene Augenzahl die Länge einer Seite in cm angibt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus drei nacheinander gewürfelten Zahlen a, b und c ein Dreieck mit den Seitenlängen a cm, b cm und c cm konstruiert werden kann.

Hinweis: Wir nehmen an, dass die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 gewürfelt werden.

Aufgabe 2-2. Die Zahlen 12, 13 und 15 sind - in irgendeiner Reihenfolge - Maßzahlen zweier Seiten und der Höhe über der dritten Seite eines Dreiecks. Man ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 2-3. Es sei s = ∛(20+14√ 2)-∛(20-14√ 2).
Man berechne s2 und s3. Man untersuche, ob s rational ist und gebe in diesem Fall den rationalen Wert an!

Aufgabe 2-4. Es ist zu beweisen: In jedem Dreieck ist die Summe der Längen der Seitenhalbierenden kleiner als der Umfang des Dreiecks.

Aufgabe 2-5A. Von einem Kreis sind zwei Punkte A und B und eine Tangente g gegeben. Man konstruiere den Kreis und gebe jeweils die Konstruktionsbeschreibung an, falls

(a) der Punkt A auf g liegt.
(b) die Gerade durch A und B parallel zu g ist.
(c) die Gerade durch A und B die Tangente g in einem Punkt S schneidet, der von A und B verschieden ist.

Aufgabe 2-5B.
(a) Man zeige: Unter 52 natürlichen Zahlen gibt es stets zwei, deren Summe oder deren Differenz durch 100 teilbar ist.
(b) In einem Quadrat mit der Seitenlänge 7 sind 51 Punkte markiert. Es ist zu zeigen, dass es unter diesen Punkten stets drei gibt, die im Inneren eines Kreises mit dem Radius 1 liegen.
(c) In einem regelmäßigen Neuneck sei jede Ecke entweder rot oder grün gefärbt. Je drei Ecken des Neunecks bestimmen ein Dreieck. Ein solches Dreieck heiße rot bzw. grün, wenn seine Ecken alle rot bzw. alle grün sind. Man beweise, dass es bei jeder derartigen Färbung des Neunecks mindestens zwei verschiedene kongruente Dreiecke gleicher Farbe gibt.

Aufgabenblatt Serie 1

Aufgabe 1-1. Man finde alle positiven ganzen Zahlen, die gleich der Summe ihrer Quersumme und ihres Querproduktes sind?

Aufgabe 1-2. Unter einem magischen Multiplikationsquadrat n-ter Ordnung versteht man eine Anordnung von n2 paarweise verschiedenen natürlichen (nicht notwendig aufeinander folgenden) Zahlen auf einem n x n-Quadrat, sodass die Produkte der Zahlen in jeder Spalte, jeder Zeile und jeder Diagonale gleich einer Konstante sind. Man untersuche, ob es für n > 2 magische Multiplikationsquadrate gibt!

Aufgabe 1-3. Jemand hat 55 Bälle, von denen einige blau sind und die übrigen rot. Außerdem hat er 10 Kisten; in die erste passt genau ein Ball, in die zweite passen genau zwei Bälle usw.
Zeigen Sie, dass es möglich ist, alle Bälle so in den Kisten zu verstauen, dass in keiner Kiste Bälle unterschiedlicher Farbe vorkommen.

Aufgabe 1-4. Gegeben sei ein Quadrat. Ein Kreis soll so gezeichnet werden, dass er zwei benachbarte Seiten des Quadrates berührt und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Quadrates geht. Man beschreibe die Konstruktion.

Aufgabe 1-5A. Gegeben sei für S die Summendarstellung s = 1 + 3 + ... + 31. Man könnte vermuten, dass unter S die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis 31 gemeint ist, also S = S1(16) = ∑ (k = 1 ... 16)(2k - 1).

(a) Man leite eine Formel zur Berechnung der Summe der ersten n ungeraden Zahlen her, also einen Ausdruck ohne Summenzeichen für S1 in Abhängigkeit von n: S1(n) = ∑ (k = 1 ... n)(2k - 1).

(b) Es ist zu zeigen, dass die Darstellung von S = 1 + 3 + ... + 31 nicht eindeutig ist. Man gebe außer S1 (mit 16 Summanden) zwei weitere Summen mit verschiedener Summandenzahl an, in denen die Summanden 1, 3 und 31 wie angegeben als erste, zweite bzw. letzte Summanden vorkommen, und verwende für die Summendarstellung das Summenzeichen.

(c) Man gebe unter Verwendung des Summenzeichens eine Darstellung für S = 1 + 3 + ... + 31 derart an, dass sich bei insgesamt 4 Summanden die Summe 45 ergibt. Man berechne die Summe der ersten 6 Zahlen gemäß dieser Darstellung. Kann man für jede vorgegebene Zahl A unter Verwendung des Summenzeichens eine Darstellung für S finden, sodass S(4) = A gilt?

Aufgabe 1-5B. Es sind n Punkte (n > 1) so in einem Quadrat der Seitenlänge 1 zu verteilen, dass ihr Mindestabstand möglichst groß wird. Unter Mindestabstand dn zwischen n Punkten einer gegebenen Verteilung wird die kleinste Länge von den insgesamt ½n(n-1) möglichen Verbindungsstrecken zwischen je zwei Punkten verstanden. Für n = 2 ist die Lösung der Aufgabe trivial und man findet d2 = √ 2. Für n = 4 erscheint d4 = 1 als naheliegend, aber dafür ist bereits ein Beweis notwendig.

(a) Man gebe für n = 3 eine Verteilung mit möglichst großem Mindestabstand d3 an und bestimme die Größe von d3 für das gewählte Beispiel.

(b) Man beweise, dass es eine Verteilung von n = 6 Punkten gibt, sodass der Mindestabstand d6 größer als 0,58 wird.

(c) Man finde eine Verteilung von n = 5 Punkten, sodass der Mindestabstand d5 maximal wird. Man zeige, dass es keine Verteilung gibt, die einen größeren Mindestabstand erreicht.